Digitaltechnik-Aufgaben-Logik

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Digitaltechnik - Aufgaben Logik

Wahrheitstabelle erstellen

Stellen Sie die Wahrheitstabelle für die Funktion f(x,y,z)=x‾⋅(y+z){f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}=\overline{{x}}\cdot{\left({y}+{z}\right)} auf.

Digitaltechnik - Aufgaben Logik

Aufgabe

Vereinfachen Sie folgende Gleichung

f(x,y,z)=x y‾ z+x‾ y‾ z{f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={x}\ \overline{{y}}\ {z}+\overline{{x}}\ \overline{{y}}\ {z}

durch Anwendung von boolschen Theoremen und weisen Sie nach, dass die Funktion f(x,y,z) nicht von x abhängt. Erklären Sie welches Theorem Sie in jedem Schritt anwenden.

Lösung

Schritt Theorem
f(x,y,z)={f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}= xy‾z+x‾ y‾z{x}\overline{{y}}{z}+\overline{{x}}\ \overline{{y}}{z} Distributivgesetz: xy+xz=x(y+z){x}{y}+{x}{z}={x}{\left({y}+{z}\right)}
f(x,y,z)={f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}= (x+x‾)y‾z{\left({x}+\overline{{x}}\right)}\overline{{y}}{z} x+x‾=1{x}+\overline{{x}}={1}
f(x,y,z)={f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}= 1⋅y‾ z{1}\cdot\overline{{y}}\ {z} 1⋅x=x{1}\cdot{x}={x}
f(x,y,z)={f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}= y‾ z\overline{{y}}\ {z}

Diese Funktion hängt nicht von x ab, da x nicht in der Funktion auftaucht.

Digitaltechnik - Aufgaben Logik

Aufgaben

Bei einer Lichtsteuerung soll das Licht in einem Zimmer nachts automatisch eingeschaltet werden, wenn ein Bewegungsmelder eine Bewegung anzeigt. Tagsüber soll das Licht nur eingeschaltet werden, wenn der Lichtschalter im Zimmer eingeschaltet wird. Nachts kann man mit dem Schalter das Licht nicht einschalten.

  1. Wieviele Eingangsvariablen und wieviele Ausgangsvariablen hat dieses System?
  2. Welche Variablen sind es
  3. Geben Sie eine logische Gleichung für das System an

Lösung

Teilaufgabe 1

Drei Eingangsvariablen und eine Ausgangsvariable

Teilaufgabe 2

  • B = Bewegungsmelder / Eingang
  • S = Schalter / Eingang
  • T = Tag/Nachtuhr / eingang
  • L = Lampe / Ausgang

Teilaufgabe 3

L=TB+TS{L}={T}{B}+{T}{S}

Digitaltechnik - Aufgaben Logik

Aufgabe

Geben Sie eine Schaltung an, die sich gemäß folgender Wahrheitstabelle verhält:

z y x f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0

Lösung

Aus der Wahrheitstabelle wird eine logische Funktion in Disjunktiver Normalform abgeleitet:

f(x,y,z)=zy′x′+zy′x{f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={z}{y}'{x}'+{z}{y}'{x}

Diese Funktion kann vereinfacht werden zu

f(x,y,z)=zy′(x′+x){f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={z}{y}'{\left({x}'+{x}\right)}

f(x,y,z)=zy′{f{{\left({x},{y},{z}\right)}}}={z}{y}'

Eine Schaltung, die diese Funktion umsetzt ist die folgende: